Respuesta breve a las siguientes pregunta:
Diferencias entre el lenguaje proposicional y el predicativo.
El lenguaje proposicional lo utilizamos para representar conocimientos en donde no sea necesario formalizar propiedades entre individuos o relaciones entre ellos.
Por ejemplo: En lenguaje proposicional, "Algunos alumnos prefieren dormir" se representaría por p, sin embargo esta espresión no nos proporciona información a cerca de los alumnos que prefieren dormir. Lo mismo ocurre con la proposición "Todos los alumnos prefieren dormir", se representaría por la proposición q, por ejemplo y tampoco nos permite referirnos a todos los elementos de un dominio.
El lenguaje de predicados, generaliza el lenguaje proposicional introduciendo nuevos elementos del lenguaje con los que se describen con más detalle los elementos sintácticos de una proposición; ésta se formaliza atendiendo a los individuos, sus propiedades y relaciones, dentro de un conjunto de referencia.
En este ejemplo se visualiza las ventajas del lenguaje de predicados frente al proposicional.
P1. Todas las máquinas transforman energía.
P2. El coche es una máquina.
Q. El coche transforma energía.
Formalizando el conocimiento con el lenguaje de proposiciones, lo primero que hay que hacer es definir un Marco Conceptual, ¿Qué es el Marco Conceptual?
El conjunto de símbolos que elijamos para formalizar las proporciones y se representa con MC. En MC estarán todas las proposiciones atómicas que aparecen en el problema.
M.C.={p: Todas las máquinas transforman energía, q: El coche es una máquina, r: El coche transforma energía.}
El razonamiento p , q ⇒ r
Este razonamiento no es correcto porque desde un punto de vista sintáctico no existe una conexión entre las premisas y la conclusión.
Ahora formalizaré el conocimiento utilizando el lenguaje de los predicados.
M.C.{c: coche, M(x) :x es una máquina. E(x): x transforma energía}
∀x [M(x) -> E(x)], M(c) ⇒ E(c)
- Un par de ejemplos de razonamiento en lenguaje natural, y formalizados en lenguaje de proposiciones.
Hoy cenamos con tus padres pero la semana que viene vendrás con los míos.
M.C.{p: Hoy cenamos con tus padres. q: la semana que viene vendrás con los míos.}
p ^ q
Si mañana vamos de excursión tomaremos el sol.
M.C. {p: mañana vamos de excursión. q: tomaremos el sol.}
p -> q
- Un par de ejemplos de razonamientos en lenguaje natural, y formalizados en lenguaje de predicados.
Todos los alumnos estudian un Grado.
M.C. {Alu(x): x es alumno, Gra(x): x es un grado.}
∀x [Alu(x) -> Gra(x)]
Algunos alumnos son extranjeros
M.C. {Alu(x): x es Alumno, Ex(x): x es extranjero.}
∃x[Alu(x) ^ Ex(x)]
- Un ejemplo de conjunto formado por la unión de otros tres.
Los estudiantes de la comunidad Valenciana forman un conjunto unión de otros tres, los estudiantes Alicantinos, los Castellonenses y los Valencianos.
- Escribe soluciones a los ejercicios propuestos, ver entrada de la bitácora con ejercicios propuestos del tema 2.
lunes, 31 de octubre de 2011
martes, 25 de octubre de 2011
INTERPRETACIÓN DE LOS RAZONAMIENTOS LÓGICOS
Método de la tabla de la verdad y del contraejemplo.
Una tabla de verdad es una tabla que muestra el valor semántico de una fbf molecular a partir de todas las combinaciones de valores de verdad que se puedan asignar a sus componentes lógicas. Dicho valor semántico aparece en la última columna de la tabla.
Usada para estudiar la validez de un razonamiento la tabla permite comprobar cómo se interpreta la conclusión cuando todas las premisas son verdaderas.
El método de la Tabla de Verdad consiste en hacer una tabla en donde se interpreta cada fórmula del razonamiento a partir de sus componentes básicas. Cada fila de la tabla es una interpretación.
Se buscan filas en donde las premisas sean verdaderas y se comprueba cómo se interpreta la conclusión. Si la conclusión se interpreta como verdadera el argumento es correcto, si la conclusión es falsa, el argumento es no correcto. Las otras interpretaciones no nos interesan.
El método del contraejemplo supone que el razonamiento dado no es correcto admitiendo la existencia de una interpretación que interprete a las fórmulas premisas como verdaderas y a la fórmula conclusión como falsa; con esta hipótesis se interpretan todas las subfómulas del razonamiento. Si no aparece ninguna contradicción al interpretarlas el razonamiento admite una interpretación contraejemplo y por lo tanto no es correcto, por el contrario, si aparece contradicción el razonamiento es correcto (no admite la hipótesis del contraejemplo).
Ejemplo de clase de teoría, 25/10/11
P1. La lógica no les gusta a los alumnos a menos que sea difícil.
P2. La lógica es difícil sólo si las matemáticas no lo son.
Q. Es suficiente que a los alumnos les gusta la lógica para que las matemáticas no sean difíciles.
P1.
MC.
glo: Gusta lógica
dlo: difícil lógica
Chuleta: "a menos que" siempre niega el antecedente.
fbf. ¬(¬glo)⇒ dlo "es lo mismo que" glo ⇒ dlo
P2
MC.
dlo: difícil lógica
dma: matemáticas difíciles
chuleta: "solo si" acompaña al consecuente.
fbf. dlo ⇒ ¬dma
Q
MC.
dlo: difícil ldlo: difícil lógica
dma: matemáticas difícil
chuleta: "es necesario" acompaña al antecedente.
fbf. glo ⇒ ¬dma
Nota: la tabla ha sido rectificada.
En esta tabla de la verdad no encontramos contradicción, puesto que siempre que las dos proposiciones son verdaderas también lo es la conclusión.
Una tabla de verdad es una tabla que muestra el valor semántico de una fbf molecular a partir de todas las combinaciones de valores de verdad que se puedan asignar a sus componentes lógicas. Dicho valor semántico aparece en la última columna de la tabla.
Usada para estudiar la validez de un razonamiento la tabla permite comprobar cómo se interpreta la conclusión cuando todas las premisas son verdaderas.
El método de la Tabla de Verdad consiste en hacer una tabla en donde se interpreta cada fórmula del razonamiento a partir de sus componentes básicas. Cada fila de la tabla es una interpretación.
Se buscan filas en donde las premisas sean verdaderas y se comprueba cómo se interpreta la conclusión. Si la conclusión se interpreta como verdadera el argumento es correcto, si la conclusión es falsa, el argumento es no correcto. Las otras interpretaciones no nos interesan.
El método del contraejemplo supone que el razonamiento dado no es correcto admitiendo la existencia de una interpretación que interprete a las fórmulas premisas como verdaderas y a la fórmula conclusión como falsa; con esta hipótesis se interpretan todas las subfómulas del razonamiento. Si no aparece ninguna contradicción al interpretarlas el razonamiento admite una interpretación contraejemplo y por lo tanto no es correcto, por el contrario, si aparece contradicción el razonamiento es correcto (no admite la hipótesis del contraejemplo).
Ejemplo de clase de teoría, 25/10/11
P1. La lógica no les gusta a los alumnos a menos que sea difícil.
P2. La lógica es difícil sólo si las matemáticas no lo son.
Q. Es suficiente que a los alumnos les gusta la lógica para que las matemáticas no sean difíciles.
P1.
MC.
glo: Gusta lógica
dlo: difícil lógica
Chuleta: "a menos que" siempre niega el antecedente.
fbf. ¬(¬glo)⇒ dlo "es lo mismo que" glo ⇒ dlo
P2
MC.
dlo: difícil lógica
dma: matemáticas difíciles
chuleta: "solo si" acompaña al consecuente.
fbf. dlo ⇒ ¬dma
Q
MC.
dlo: difícil ldlo: difícil lógica
dma: matemáticas difícil
chuleta: "es necesario" acompaña al antecedente.
fbf. glo ⇒ ¬dma
Nota: la tabla ha sido rectificada.En esta tabla de la verdad no encontramos contradicción, puesto que siempre que las dos proposiciones son verdaderas también lo es la conclusión.
miércoles, 19 de octubre de 2011
Fórmulas Clausales
¿Qué es la forma Clausal?
Primero habrá que saber lo que entendemos por cláusula (en el argot de la lógica matemática).
Una clausula es un disyunción de literales, ¿Y qué demonios es un literal?. Un literal, en lógica, es una fórmula atómica afirmada o negada.
p, q, ¬p Son ejemplos de literales.
¬p v q v P(a) Es un ejemplo de cláusula.
En este ejercicio intentaré hallar la fórmula Clausal, desde ahora FC, a partir de fórmulas bien formadas (Fbf).
Bien, ¿y cómo se convierte una Fbf en FC? ¿Hay algún truco? Más bien lo que tenemos es un método.
1º.- Eliminar implicadores: A ⇒ B = ¬A v B
2º.- Reducir negación : ¬¬A = A
L. Morgan: ¬(A v B) = ¬A v ¬B; ¬(A v B) = ¬A v ¬B;
3º.- Cada cuantificador con Variables diferentes.
4º.- Eliminar c. existenciales aplicando Skolem.
5º.- Poner los c. universales en cabeza de fórmula.
6º.- Distributiva: A v (B v C) = (A v B) v ( A v C)
7º.- Extraer las cláusulas de la fórmula.
8º.- Cláusulas con argumentos variables diferentes. Constantes
pueden coincidir.
Problema Propuesto. Hallar la fórmula Cláusal.
1- Carlos es modelo.
2- Todos los modelos tienen buen tipo aunque los que no lo son, son atractivos.
3- Para que un sujeto tenga buen tipo es necesario que está macizo.
4- Aunque para que esté macizo es suficiente que sea atractivo
(Nota: No me he vuelto gay, es que tengo una profesora de Lógica.
Voy a intentarlo...
Primero el MC (Marco conceptual).
Mod(carlos): Carlos es modelo.
Bt(x): x es buen tipo.
At(x): x es atractivo.
Ma(x); x está Macizo.
Ahora las Fbf
1- Mod(carlos)
2- ∀x [Mod(x) ⇒ Bt(x) ^ ¬Mod(x) ⇒ At(X) ]
3- Ma(x)⇒ Bt(x)
4- At(x) ⇒ Ma(x)
La fórmula 3 y 4 se unen por una conjunción.
Y Ahora las Clausales
2- ∀x [¬Mod(x) v Bt(x) ^ ¬¬Mod(x)v At(X) ] Paso1
∀x [¬Mod(x) v Bt(x) ^ Mod(x)v At(X) ] Paso 2
Cl1: ¬Mod(x) v Bt(x)
Cl2: Mod(x)v At(X)
3- ¬Ma(x) v Bt(x) Paso 1
4- ¬At(X) v Ma(x) Paso 1
¿Carlos está Macizo? ¿?
Primero habrá que saber lo que entendemos por cláusula (en el argot de la lógica matemática).
Una clausula es un disyunción de literales, ¿Y qué demonios es un literal?. Un literal, en lógica, es una fórmula atómica afirmada o negada.
p, q, ¬p Son ejemplos de literales.
¬p v q v P(a) Es un ejemplo de cláusula.
En este ejercicio intentaré hallar la fórmula Clausal, desde ahora FC, a partir de fórmulas bien formadas (Fbf).
Bien, ¿y cómo se convierte una Fbf en FC? ¿Hay algún truco? Más bien lo que tenemos es un método.
1º.- Eliminar implicadores: A ⇒ B = ¬A v B
2º.- Reducir negación : ¬¬A = A
L. Morgan: ¬(A v B) = ¬A v ¬B; ¬(A v B) = ¬A v ¬B;
3º.- Cada cuantificador con Variables diferentes.
4º.- Eliminar c. existenciales aplicando Skolem.
5º.- Poner los c. universales en cabeza de fórmula.
6º.- Distributiva: A v (B v C) = (A v B) v ( A v C)
7º.- Extraer las cláusulas de la fórmula.
8º.- Cláusulas con argumentos variables diferentes. Constantes
pueden coincidir.
Problema Propuesto. Hallar la fórmula Cláusal.
1- Carlos es modelo.
2- Todos los modelos tienen buen tipo aunque los que no lo son, son atractivos.
3- Para que un sujeto tenga buen tipo es necesario que está macizo.
4- Aunque para que esté macizo es suficiente que sea atractivo
(Nota: No me he vuelto gay, es que tengo una profesora de Lógica.
Voy a intentarlo...
Primero el MC (Marco conceptual).
Mod(carlos): Carlos es modelo.
Bt(x): x es buen tipo.
At(x): x es atractivo.
Ma(x); x está Macizo.
Ahora las Fbf
1- Mod(carlos)
2- ∀x [Mod(x) ⇒ Bt(x) ^ ¬Mod(x) ⇒ At(X) ]
3- Ma(x)⇒ Bt(x)
4- At(x) ⇒ Ma(x)
La fórmula 3 y 4 se unen por una conjunción.
Y Ahora las Clausales
2- ∀x [¬Mod(x) v Bt(x) ^ ¬¬Mod(x)v At(X) ] Paso1
∀x [¬Mod(x) v Bt(x) ^ Mod(x)v At(X) ] Paso 2
Cl1: ¬Mod(x) v Bt(x)
Cl2: Mod(x)v At(X)
3- ¬Ma(x) v Bt(x) Paso 1
4- ¬At(X) v Ma(x) Paso 1
¿Carlos está Macizo? ¿?
martes, 11 de octubre de 2011
Lógica de predicados, Ejercicios
Hoy en vez de hacer un resumén de la clase. No veo muy práctico el copiar los 5 folios de apuntes. Haré los ejercicios propuestos en las transparencias del tema 2.
1º. – Luis, que es alumno de M1, es feliz
2º.- Luis y Ana, que son alumnos de M1 son felices.
3º.- Todos los alumnos de M1 son felices.
4º.- Todos los alumnos de M1 que son felices son amigos de Maripuri.
5º.- Algunos alumnos de M1 son felices y amigos de Maripuri
Escribiré con una fórmula bien formada las siguientes sentencias:
1º Luis, que es alumno de M1, es feliz.
M.C. (Marco conceptual):
lu: Luis
m1: Matematicas 1
Fe: Feliz
Alu: Alumno
Donde Luis y M1 son sujetos
Fe y Alu son predicados
Fbf (fórmula bien formada): Fe(lu)^Alu(lu,m1)
2º.- Luis y Ana, que son alumnos de M1 son felices.
M.C. (Marco conceptual):
lu: Luis
ana: Ana
m1: Matematicas 1
Fe: Feliz
Alu: Alumno
Donde Luis, Ana y M1 son sujetos
Fe y Alu son predicados
Fbf (fórmula bien formada): Fe(lu)^Fe(ana)^Alu(lu,m1)^Alu(ana,m1)
3º.- Todos los alumnos de M1 son felices.
M.C. (Marco conceptual):
m1: Matematicas 1
Fe: Feliz
Alu: Alumno
Fbf: ∀x [Alu (x,m1) ⇒ Fe (x)]
4º.- Todos los alumnos de M1 que son felices son amigos de Maripuri.
M.C:
ma: Maripuri
m1: Matematicas 1
Fe: Feliz
Alu: Alumno
Ami(x,y): x es amigo de y
Fbf: ∀x [Alu (x,m1) ^ Fe (x)⇒ Ami(x,ma) ]
5º.- Algunos alumnos de M1 son felices y amigos de Maripuri
M.C:
ma: Maripuri
m1: Matematicas 1
Fe: Feliz
Alu: Alumno
Ami(x,y): x es amigo de y
Fbf: ∃x [Alu(x,m1) ^ Fe(x) ^ Ami(x,ma)]
1º. – Luis, que es alumno de M1, es feliz
2º.- Luis y Ana, que son alumnos de M1 son felices.
3º.- Todos los alumnos de M1 son felices.
4º.- Todos los alumnos de M1 que son felices son amigos de Maripuri.
5º.- Algunos alumnos de M1 son felices y amigos de Maripuri
Escribiré con una fórmula bien formada las siguientes sentencias:
1º Luis, que es alumno de M1, es feliz.
M.C. (Marco conceptual):
lu: Luis
m1: Matematicas 1
Fe: Feliz
Alu: Alumno
Donde Luis y M1 son sujetos
Fe y Alu son predicados
Fbf (fórmula bien formada): Fe(lu)^Alu(lu,m1)
2º.- Luis y Ana, que son alumnos de M1 son felices.
M.C. (Marco conceptual):
lu: Luis
ana: Ana
m1: Matematicas 1
Fe: Feliz
Alu: Alumno
Donde Luis, Ana y M1 son sujetos
Fe y Alu son predicados
Fbf (fórmula bien formada): Fe(lu)^Fe(ana)^Alu(lu,m1)^Alu(ana,m1)
3º.- Todos los alumnos de M1 son felices.
M.C. (Marco conceptual):
m1: Matematicas 1
Fe: Feliz
Alu: Alumno
Fbf: ∀x [Alu (x,m1) ⇒ Fe (x)]
4º.- Todos los alumnos de M1 que son felices son amigos de Maripuri.
M.C:
ma: Maripuri
m1: Matematicas 1
Fe: Feliz
Alu: Alumno
Ami(x,y): x es amigo de y
Fbf: ∀x [Alu (x,m1) ^ Fe (x)⇒ Ami(x,ma) ]
5º.- Algunos alumnos de M1 son felices y amigos de Maripuri
M.C:
ma: Maripuri
m1: Matematicas 1
Fe: Feliz
Alu: Alumno
Ami(x,y): x es amigo de y
Fbf: ∃x [Alu(x,m1) ^ Fe(x) ^ Ami(x,ma)]
martes, 4 de octubre de 2011
LÓGICA DE PRIMER ORDEN Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Una proposición es una sentencia declarativa que en el cálculo de la lógica de primer orden es susceptible de ser verdadera o falsa. Se dice que una proposición es atómica cuando declara información completa e indivisible; se dice que es molecular cuando está formada por la conexión de varias proposiciones atómicas. Cada proposición molecular se distingue por su conectiva principal, muy importante en el cálculo lógico.
Operadores Lógicos:
Los operadores lógicos, conocidos también como conectivos lógicos, son los que permiten combinar las proposiciones atómicas para formar las proposiciones compuestas.
La siguiente es la jerarquia de los Operadores: ¬,▲,v,→,↔
Tablas de Verdad:
Para determinar el valor de verdad de una de proposición compuesta se suele usar las denominadas tablas de verdad.
Propiedades de algunas conexiones:
En la conjunción y la disyunción existe comutatividad.
A^B^C es lo mismo que B^A^C
AvBvC es lo mismo que BvAvC
Sin embargo la condicional no es comutativa:
A --> B No es lo mismo que B --> A
La forma lógica de un argumento en lenguaje natural viene dada, por lo general, primero enunciando las proposiciones premisas y después la proposición conclusión que va precedida de las expresiones: “luego”, “por lo tanto”, y otras equivalentes. Pero hay ocasiones en que dicha forma no aparece en ese orden y hay que determinar lo que representa cada proposición.
Aquí tenemos algunos trucos para determinar el orden de las proposiciones.
Es suficiente A para que sea B
Es suficiente siempre acompaña al antededente.
Ejemplo: Es suficiente que Friqui estudie para que apruebe.
MC. (Marco conceptual): Es el conjunto de elementos que indican las erramientas de la lógica que necesito para formalizar las sentencias.
En este caso:
es: Friqui estudia
ap. Friqui aprueba
es --> ap
En lenguaje coloquial, "Friqui aprueba si estudia".
Otro ejemplo:
Para que Friqui apruebe es suficiente que estudie.
Otro truco:
Sólo si y es necesario siempre acompañan al consecuente.
Ejemplo: Sólo si Friqui estudia, hace controles, pruebas mates, entonces aprueba y es feliz.
MC.
es: estudia
ap: aprueba
hc: hace controles
pr: pruebas
fe: feliz
ap ^ fe --> es ^ hc ^ pr
COIMPLICADOR
Se detecta por el conector lógico Si y sólo si.
Por ejemplo:
Friqui estudia si y sólo si es feliz.
Esta proposición compuesta equivale a estas dos:
Friqui estudia si es feliz (donde si nos señala en antecedente).
fe --> es
Friqui estudia sólo si es feliz (solo si nos señala el consecuente).
es --> fe
Como las dos expresiones son ciertas, se pueden representar de la misma forma:
fe <--> es
es <--> fe
Operadores Lógicos:
Los operadores lógicos, conocidos también como conectivos lógicos, son los que permiten combinar las proposiciones atómicas para formar las proposiciones compuestas.
La siguiente es la jerarquia de los Operadores: ¬,▲,v,→,↔
Tablas de Verdad:
Para determinar el valor de verdad de una de proposición compuesta se suele usar las denominadas tablas de verdad.
Propiedades de algunas conexiones:
En la conjunción y la disyunción existe comutatividad.
A^B^C es lo mismo que B^A^C
AvBvC es lo mismo que BvAvC
Sin embargo la condicional no es comutativa:
A --> B No es lo mismo que B --> A
La forma lógica de un argumento en lenguaje natural viene dada, por lo general, primero enunciando las proposiciones premisas y después la proposición conclusión que va precedida de las expresiones: “luego”, “por lo tanto”, y otras equivalentes. Pero hay ocasiones en que dicha forma no aparece en ese orden y hay que determinar lo que representa cada proposición.
Aquí tenemos algunos trucos para determinar el orden de las proposiciones.
Es suficiente A para que sea B
Es suficiente siempre acompaña al antededente.
Ejemplo: Es suficiente que Friqui estudie para que apruebe.
MC. (Marco conceptual): Es el conjunto de elementos que indican las erramientas de la lógica que necesito para formalizar las sentencias.
En este caso:
es: Friqui estudia
ap. Friqui aprueba
es --> ap
En lenguaje coloquial, "Friqui aprueba si estudia".
Otro ejemplo:
Para que Friqui apruebe es suficiente que estudie.
Otro truco:
Sólo si y es necesario siempre acompañan al consecuente.
Ejemplo: Sólo si Friqui estudia, hace controles, pruebas mates, entonces aprueba y es feliz.
MC.
es: estudia
ap: aprueba
hc: hace controles
pr: pruebas
fe: feliz
ap ^ fe --> es ^ hc ^ pr
COIMPLICADOR
Se detecta por el conector lógico Si y sólo si.
Por ejemplo:
Friqui estudia si y sólo si es feliz.
Esta proposición compuesta equivale a estas dos:
Friqui estudia si es feliz (donde si nos señala en antecedente).
fe --> es
Friqui estudia sólo si es feliz (solo si nos señala el consecuente).
es --> fe
Como las dos expresiones son ciertas, se pueden representar de la misma forma:
fe <--> es
es <--> fe
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